Question

[loc do]

Tam giác ABC có AB < AC, hai trung tuyến BE cà CF cắt nhau tại G.Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

a/ Ba điểm A, G, D thẳng hàng

b/ BE < CF

c/ AD, BE, CF thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

Answer 1

[Trần Thị Loan]

Chứng minh phụ (phần b): 

Dựa vào chứng minh bài sau: Tam giác ABC ; D là trung điểm của BC. Nếu AB < AC thì góc ADB  (= D₁) < góc ADC (= D₂) và ngược lại  (*)

Chứng minh:

(=>) Lấy E thuộc tia AD sao cho D là trung điểm của AE

=>tam giác ADB = E DC (c - g  c)

=> AB = CE và góc BAD = AEC

Trong tam giác ACE: góc AEC đối diện với cạnh AC; góc EAC đối diện với cạnh CE 

mà AC > CE (do AC > AB)

=> góc AEC > EAC lại có AEC = BAD => BAD > DAC 

=> 180⁰ - D₁ > 180^o - D₂ => D₁ < D₂

(<=) Nếu  D₁ < D₂  thì AB < AC . 

Giả sử AB > AC : quay lại  chứng minh như bước trên => D₁ > D₂ => trái với giả thiết 

=> AB < AC

Vậy => (*)

Answer 2

[Trần Thị Loan]

a) Tam giác ABC có 2 trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G

=> G là trọng tâm tam giác => G thuộc trung tuyến AD Hay A; G; D thẳng hàng

b)  +) Chứng minh được : góc BAD > DAC  (xem phần sau)

Trong tam giác ABC có AB < AC nên góc ACB < ABC 

=> góc BAD + ABC > góc DAC + ACB 

=> 180^o - (BAD + ABC) < 180^o - (DAC + ACB)

=> góc D₁ < D₂

+) Từ D₁ < D₂   => BG < CG   (xem phần sau) 

Theo tính chất trung tuyến BG = 1/3 BE ; CG = 2/3 CF 

=> BE < CF

c)

+) Theo câu b ta có: BE < CF => BE < CF + AD   (1)

+) Lấy I thuộc tia GD sao cho D là trung điểm của GI => AG = GI = 2GD

Dễ có: tam giác BDI = CDG (do BD = CD; góc BDI = CDG; DI = GD)

=> BI = CG 

Trong tam giác BGI có: GI < BG + BI Mà GI = AG ; BI = CG

=> AG < BG + CG => 2/3 AD < 2/3BE + 2/3CF

=> AD < BE + CF  (2)

Tương tự, ta có: CF < AD + BE   (3)

Từ (1)(2)(3) => AD; BE; CF thỏa mã các bất đẳng thức tam giác